সংখ্যার ভেতরের রহস্য
সংখ্যা ছাড়া গণিত অস্তিত্বহীন। সংখ্যা হলো পরিমাপের একটা বিমূর্ত ধারণা, আর গণিতের জন্মই হয়েছে গণনা থেকে।
প্রাচীন প্রস্তর যুগ থেকে নব্য প্রস্তর যুগ, মিশর থেকে মেসোপটেমিয়া, আরব থেকে ভারতবর্ষ—সভ্যতার প্রতিটি ধাপেই সংখ্যার ব্যবহার ছিল অপরিহার্য। তাই সংখ্যার মাঝেই লুকিয়ে আছে হাজারো অজানা রহস্য, বিস্ময়কর প্যাটার্ন এবং নতুন আবিষ্কারের সম্ভাবনা।
'লুকানো বর্গ' মানে
ধারণাটা খুব সহজ। কোনো একটা সংখ্যা নিয়ে কাজ করব। সেটার ওপর চার ধরনের অপারেশন চালাব, \(+,\;-,\;\times,\;\div\)। তারপর দেখব কী হয়।
প্রথম সংখ্যা: ৫
৫ সংখ্যাটা বেশ মজার। এটা দিয়েই শুরু করি। সংখ্যাটাকে নিজের সাথে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ করে ফলগুলো জমা করি।
সমষ্টির বর্গমূল নিলে পাই ৬, অর্থাৎ ৫ সংখ্যাটার ঠিক পরের সংখ্যা।
দ্বিতীয় সংখ্যা: ১১
ব্যাপারটা সত্যিই মজার। আরেকটা সংখ্যা নিয়ে দেখি। ১১ সংখ্যাটাও দারুণ, চমক ভাইয়ের প্রিয় একটা সংখ্যা।
এবারও সমষ্টির বর্গমূল হলো ১২, অর্থাৎ ১১ এর ঠিক পরের সংখ্যা। প্রতিবারই পরের সংখ্যা! কাকতালীয় কিছু নিশ্চয়ই নয়।
যেকোনো সংখ্যায় চালিয়ে দেখুন
শুধু ৫ বা ১১ নয়, যেকোনো সংখ্যাতেই এটা কাজ করে। নিচে একটা সংখ্যা বসিয়ে দেখুন, সমষ্টির বর্গমূল সবসময় ঠিক পরের সংখ্যাতেই গিয়ে দাঁড়াবে।
সংখ্যাটা যদি \(n\) হয়
তাহলে ব্যাপারটাকে একটু সহজ করে সাধারণ রূপে লিখি। ধরি কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা \(n\)। তাহলে চারটে অপারেশন দাঁড়ায় এরকম,
তাই কোনো স্বাভাবিক সংখ্যাকে নিজের দ্বারা যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ করে সমষ্টি বের করলে, সেই সমষ্টির বর্গমূল হবে \(n+1\), অর্থাৎ সংখ্যাটার ঠিক পরের সংখ্যা।
এটা তো সেই চেনা সূত্র
এতক্ষণে আমরা যে \(n^2 + 2n + 1\) পেলাম, এটা কিন্তু একদম নতুন কিছু নয়। স্কুলে বীজগণিতে আমরা সবার প্রথমে যে সূত্রটা শিখি, এটা ঠিক সেটাই। মনে আছে তো,
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]এই সূত্রে \(a = n\) আর \(b = 1\) বসিয়ে দিন। সঙ্গে সঙ্গে পেয়ে যাবেন,
\[ (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \]আমাদের 'লুকানো বর্গ'-এর চারটে ধাপ আসলে এই সূত্রেরই চারটে টুকরো ছাড়া কিছু নয়। গুণ (\(n \times n\)) দিচ্ছে \(n^2\), যোগ (\(n + n\)) দিচ্ছে \(2n\), ভাগ (\(n \div n\)) দিচ্ছে \(1\), আর বিয়োগ (\(n - n\)) দিচ্ছে \(0\), অর্থাৎ আলাদা করে কিছুই যোগ করছে না। টুকরোগুলো একসাথে জোড়া লাগলে ঠিক \((n+1)^2\) তৈরি হয়।
ব্যাপারটা চোখে দেখলে আরও পরিষ্কার হয়। একটা \((n+1)\) বাহুর বর্গক্ষেত্র আঁকলে সেটাকে ঠিক এই চার টুকরোয় ভাগ করা যায়। নিচে \(n\) বদলে দেখুন।
গোটা বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \((n+1)^2\), আর তার ভেতরের টুকরোগুলোর যোগফলই আমাদের সমষ্টি।
তাই আমরা আসলে নতুন কোনো উপপাদ্য আবিষ্কার করিনি, পুরনো একটা সুন্দর বীজগাণিতিক অভেদকে (identity) নতুন চোখে আবার খুঁজে পেয়েছি।
ইন্টারেস্টিং না?