লিমিট শূন্য দিয়ে ভাগ করলে আসলে কী হয়?

লিমিট আসলে কী?

লিমিট মূলত ক্যালকুলাসের একটি ধারণা, আর আধুনিক গণিতে এর ব্যবহার প্রচুর। খুব সহজভাবে বলতে গেলে,

In mathematics, a limit is the value that a function (or sequence) approaches as the input approaches some value.

আরো সহজ ভাবে বললে,

A limit is the value that a function gets closer and closer to as the input gets closer to a certain number.

কথাটা ছোট হলেও এর ভেতরে অনেক কিছু লুকিয়ে আছে। লিমিটকে ঠিকঠাক বুঝতে হলে কয়েকটা বিষয় আগে জেনে নেওয়া দরকার। তাই সরাসরি সংজ্ঞায় না গিয়ে আমরা একটা মজার ধাঁধা দিয়ে শুরু করি।

৫২ = ৫৩ প্রমাণ করা যায়?

বাংলায় একটা প্রবাদ আছে, 'যাহা বাহান্ন তাহাই তিপ্পান্ন'। এটাকে গাণিতিকভাবে প্রমাণ করা যায় কি? অনেকেরই হয়তো আগে থেকে ব্যাপারটা জানা আছে। ধরি,

চমৎকার! কিন্তু আমরা সবাই জানি ৫২ আর ৫৩ এক নয়। তাহলে এই ঝকঝকে প্রমাণের ভেতরে নিশ্চয়ই কোথাও একটা গলদ আছে। প্রশ্ন হলো, ঠিক কোথায়?

শূন্য দিয়ে ভাগ

প্রথম লাইনের দিকে লক্ষ করুন, \(x = y\) মানে \(x - y = 0\)। অথচ চতুর্থ ধাপে আমরা দুই পাশ থেকে \((x-y)\) কাটাকাটি করলাম, অর্থাৎ \((x-y)\) দিয়ে দুই পাশকে ভাগ করলাম। কিন্তু \(x-y\) তো শূন্য! আমরা না বুঝেই শূন্য দিয়ে ভাগ করে ফেলেছি, আর সেখানেই পুরো প্রমাণটা ভেঙে পড়েছে।

এখন স্বাভাবিক প্রশ্ন: শূন্য দিয়ে ভাগ করলে সমস্যাটা ঠিক কী? এটা বোঝার জন্য আগে একটু বুঝে নিই, ফাংশন জিনিসটা আসলে কী।

ইনপুট দাও, আউটপুট নাও

ফাংশন (function) হলো একটা মেশিনের মতো। ধরুন একটা আমের জুস মেশিন। আপনি input হিসেবে আম রাখলে output হিসেবে আমের জুস বেরিয়ে আসবে। যা ভেতরে দেবেন, মেশিন তার ওপরই কাজ করে একটা ফল ফিরিয়ে দেবে।

\(f(x)=\tfrac1x\)-এ শূন্যের কাছে যাওয়া

তাহলে এই মেশিনে যদি আমরা \(0\) দিই, কী হবে? তখন মেশিন দেবে \(\tfrac10\)। এটা কেমন জিনিস, সেটা বুঝতে চলুন ধীরে ধীরে শূন্যের কাছাকাছি গিয়ে দেখি। আমরা ইনপুটকে দুই পাশ থেকে শূন্যের দিকে এগিয়ে নিয়ে আউটপুট হাতে গুনে দেখব।

ডান দিক থেকে শূন্যের দিকে এলে আউটপুট আকাশছোঁয়া বড় হয়ে যায় (\(+\infty\)), আর বাম দিক থেকে এলে নিচে নেমে যায় (\(-\infty\))। দুই দিকে দুই রকম। তাই \(\tfrac10\) আসলে undefined। শূন্য দিয়ে ভাগের কোনো সংজ্ঞাই নেই।

খেয়াল করুন, ইনপুট যত শূন্যের দিকে যেতে চায়, আউটপুট ততই শূন্য থেকে বিপরীত দিকে। ব্যাপারটাকে এভাবে চিন্তা করা যায়। একটা গোটা পিৎজা ভাগ করছেন। প্রতিটি টুকরো যদি পিৎজার \(\tfrac14\) অংশ হয়, তাহলে টুকরো হবে \(4\)টা। টুকরো যত পাতলা করবেন (ইনপুট যত ছোট), মোট টুকরোর সংখ্যা তত বাড়বে (আউটপুট তত বড়)। \(0.5\) অংশ করলে \(2\) টুকরো, \(0.1\) অংশ করলে \(10\) টুকরো, \(0.001\) অংশ করলে \(1000\) টুকরো। ইনপুট শূন্যের যত কাছে যায়, টুকরোর সংখ্যা তত আকাশছোঁয়া।

এরকম যেতে যেতে শেষ মাথায় কী আছে? সংখ্যার কোনো সীমা নেই, শেষ মাথায় আছে আসলে অসীম। ডান দিক থেকে এলে এই অসীমটা ধনাত্মক (\(+\infty\)), আর বাম দিক থেকে এলে ঋণাত্মক (\(-\infty\))। একই \(\tfrac10\), অথচ এক দিক থেকে এক উত্তর আর অন্য দিক থেকে আরেক উত্তর। ঠিক এই কারণেই \(\tfrac10\)-এর কোনো একটামাত্র নির্দিষ্ট মান বসানো যায় না। গণিতের ভাষায়, \(\tfrac10\) হলো undefined বা অসংজ্ঞায়িত।

তাহলে প্রমাণটা ভুল কেন

এবার আমাদের সেই ভুল প্রমাণে ফিরি। আমরা \(x-y=0\), অর্থাৎ \(0\) দিয়ে ভাগ করেছিলাম। কিন্তু একটু আগেই তো দেখলাম, শূন্য দিয়ে ভাগ করতে গেলে ডান দিক থেকে এক উত্তর (\(+\infty\)) আর বাম দিক থেকে আরেক উত্তর (\(-\infty\)) আসে। একটা ভাগের যখন দুই দিকে দুই রকম উত্তর, তখন তাকে একটামাত্র নির্দিষ্ট মান বসানো যায় না। এই কারণেই \(\tfrac10\) হলো undefined। আর প্রমাণের যে ধাপে আমরা না জেনে এই undefined জিনিস দিয়ে ভাগ করে ফেলেছি, ঠিক সেখানেই পুরো যুক্তিটা ভেঙে পড়েছে। তাই 'যাহা বাহান্ন তাহাই তিপ্পান্ন' মোটেও সঠিক নয়।

এখন একটা মজার ব্যাপার খেয়াল করুন। ঠিক শূন্যে গিয়ে কোনো উত্তর না পেলেও, শূন্যের কাছে গেলে কিন্তু আউটপুট একটা দিকেই ছুটছিল। ডান থেকে উপরে (\(+\infty\)), বাম থেকে নিচে (\(-\infty\))। এই 'কোন দিকে ছুটছে' মানটাকেই বলে limiting value বা সীমান্তিক মান। ক্যালকুলাসে এই গোটা ব্যাপারটাই একটা আলাদা বিষয়, যার নাম লিমিট (limit) বা সীমা। যে বিন্দুতে ফাংশন আটকে যায়, লিমিট ঠিক সেখানে না গিয়ে তার আশেপাশে উঁকি দিয়ে দেখে, ফাংশনটা আসলে কোন মানের দিকে যেতে চাইছে।

\(\tfrac00\): অনির্ণেয় (Indeterminate)

\(\tfrac10\) তো হলো undefined। কিন্তু \(\tfrac00\) একটু আলাদা, একটু এক্সেপশন। \(\tfrac00\)-এর মান কত হওয়া উচিত, এই নিয়ে ভিন্ন দলের গণিতবিদের ভিন্ন রকম যুক্তি:

• একদল বলবে \(\tfrac00 = 0\), কারণ যেকোনো কিছুর সাথে \(0\) গুণ করলে \(0\) হয়।
• আরেকদল বলবে নিচে শূন্য আছে, তাই এটা undefined।
• আরেকদল বলবে, \(0\)-এর সাথে কী গুণ করলে \(0\) হয়? \(1,2,3\dots\), যেকোনো কিছুই! তাই মানটা যেকোনো কিছু হতে পারে।
• আরেকদল বলবে উপরে-নিচে শূন্য কাটাকাটি, তাই \(\tfrac00 = 1\)।

শেষে গণিতবিদেরা অনেক ভেবে বললেন, \(\tfrac00\) কত, সেটা নির্ণয় করা যায় না। একে বলা হয় indeterminate বা অনির্ণেয়। এরকম আরো অনির্ণেয় রাশি হলো, \(\tfrac∞∞\), 0 × ∞, ∞ - ∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰।

আমাদের মূল আলোচনা অবশ্য অনির্ণেয় নয়, আমাদের আলোচনা লিমিট। তবে লিমিট নিয়ে নাড়াচাড়া করলে দেখবেন, বেশির ভাগ লিমিটই শেষমেশ \(\tfrac00\) বা অনির্ণেয় আকারে এসে দাঁড়ায়।

এবার একটা ফাংশন নিই।

\(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\)

কোন \(x\)-এর জন্য ফাংশনটা \(\tfrac00\) আকার নেয়? কয়েকটা মান বসিয়ে দেখা যাক:

মাত্র \(x=3\)-এ গিয়ে ফাংশনটা \(\tfrac00\) হয়ে যাচ্ছে। বাকি জায়গায় তো দিব্যি মান পাওয়া যাচ্ছে। এবার \(x\)-কে দুই পাশ থেকে \(3\)-এর খুব কাছে নিয়ে গিয়ে দেখি আউটপুট কোথায় যায়।

একে লেখা হয় যেভাবে

ইনপুট যতই \(3\)-এর কাছাকাছি যায়, আউটপুট ততই \(6\)-এর কাছাকাছি যায়। কিন্তু ইনপুট ঠিক \(3\) হলেই আউটপুট \(\tfrac00\)। তাই বলা যায়, \(x\) যখন \(3\)-এর কাছাকাছি তখন \(f(x)\) প্রায় \(6\), যদিও \(f(3) \ne 6\)। লিমিটের ভাষায় একে লেখা হয়:

এখানে \(x \to 3\) (x tends to 3) বলতে বোঝায়, \(x\)-এর মান কখনো ঠিক \(3\) হয় না, কিন্তু \(3\)-এর খুব কাছাকাছি থাকে। আর সেই কাছাকাছি অবস্থায় আউটপুট হয় \(6\)। এভাবেই লিমিট \(\tfrac00\) বা অনির্ণেয় আকারের সমস্যা সামলে দেয়। এটাই ক্যালকুলাসের একটা আশীর্বাদ।

তবে সব ক্ষেত্রে লিমিটের মান বিদ্যমান থাকে না। যেমন, \(f(x)=\tfrac{|x|}{x}\), ফাংশনটা দুই দিক থেকে বিবেচনা করুন। \(x\) যখন ডান দিক থেকে শূন্যের দিকে অগ্রসর হয়, তখন \(f(x)\) = +1। আবার \(x\) যখন বাম দিক থেকে শূন্যের দিকে অগ্রসর হয়, তখন \(f(x)\) = -1। যেহেতু বামদিকীয় ও ডানদিকীয় লিমিট সমান নয়, তাই \(x=0\)-এ ফাংশনটির লিমিট বিদ্যমান নয়।

ε–δ ভাষায় লিমিট

আলোচনা শেষ করার আগে লিমিটের আধুনিক সংজ্ঞাটা দেখা যাক। ধরি \(f(x)\) একটা বাস্তব ফাংশন, যা কোনো সংখ্যা \(a\)-এর আশেপাশের সব মানের জন্য সংজ্ঞায়িত। তাহলে আমরা বলি \(\lim_{x\to a} f(x)=l\), যদি নিচের শর্তটা মেনে চলে,

কি মাথা ঘুরাচ্ছে? আচ্ছা একটু সহজ ভাবে চিন্তা করুন। \(\varepsilon\) (এপসাইলন) হলো আপনার বেঁধে দেওয়া একটা ছোট দূরত্ব। আপনি বললেন, 'আমি চাই আউটপুট \(l\) এই \(\varepsilon\) দূরত্বের ভেতরেই থাকুক, এর বেশি দূরে নয়।' এবার আমার কাজ হলো \(x\)-এর জন্য এমন একটা ছোট দূরত্ব \(\delta\) (ডেল্টা) খুঁজে বের করা, যেন \(x\)-কে \(a\)-এর ওই \(\delta\) গণ্ডির ভেতরে রাখলেই আউটপুট আপনাআপনি আপনার চাওয়া \(\varepsilon\) গণ্ডির ভেতরে থেকে যায়।

আপনি যত ছোট \(\varepsilon\) চাইবেন, আমাকে তত ছোট \(\delta\) দিতে হবে। কিন্তু আসল কথা হলো, আপনি যত কঠিন \(\varepsilon\)-ই বলুন না কেন, যদি প্রতিবারই আমি একটা না একটা \(\delta\) বের করে দিতে পারি, তাহলেই বুঝব লিমিট সত্যিই \(l\)। শুধু একটা শর্ত মনে রাখবেন, \(x\) কখনো ঠিক \(a\) হবে না (এই জন্যই লেখা \(0<|x-a|\)), আমরা শুধু \(a\)-এর কাছে যাচ্ছি, ঠিক \(a\)-তে নয়। নিচে \(\varepsilon\) ছোট করতে থাকুন, দেখবেন \(\delta\)-ও নিজে থেকে ছোট হয়ে আসছে।

যেকোনো \(\varepsilon\)-এর জন্য একটা \(\delta\) মিলবে, আর এই "মিলবে"-টুকুই লিমিট থাকার আসল শর্ত। তবে মনে রাখবেন, \(\varepsilon\) এবং \(\delta\)-এর মধ্যে কোনো নির্দিষ্ট সূত্র বা অনুপাত নেই। একটি ফাংশনের জন্য \(\delta\) কী হবে, তা সম্পূর্ণভাবে সেই ফাংশনের আচরণের ওপর নির্ভর করে। আমাদের শুধু নিশ্চিত করতে হবে—আপনি যত ছোট \(\varepsilon\)-ই বেছে নিন না কেন, আমি যেন এমন একটি \(\delta\) খুঁজে পাই, যার ভেতরে \(x\) থাকলেই \(f(x)\) স্বয়ংক্রিয়ভাবে \(\varepsilon\)-গণ্ডির মধ্যে থাকে।