বীজগণিত · গণিতের ডায়েরি · অক্টোবর ২০২৩
কোয়াড্রাটিকQuadratics, Roots & the Parabola
ঘাত এক বাড়লেই সরলরেখা বেঁকে গিয়ে প্যারাবোলা হয়ে যায়
সরলরেখার গল্প তো জানি, \( y = mx + c \)। এখানে x থাকে এক ঘাতে, তাই গ্রাফ একটানা সোজা যায়। কিন্তু x কে যদি দুই ঘাতে তুলে দিই, পুরো চেহারাটা বদলে যায়। এই দুই ঘাতের সমীকরণকেই বলে কোয়াড্রাটিক, মানে second degree equation।
কোয়াড্রাটিকের স্ট্যান্ডার্ড রূপ হলো:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad\Rightarrow\quad y = ax^2 + bx + c \]এখানে \( a \neq 0 \) হতেই হবে, না হলে \( ax^2 \) অংশটা উবে গিয়ে আবার সরলরেখা হয়ে যায়। চাইলে x আর y এর ভূমিকা উল্টে দিয়ে y এর কোয়াড্রাটিকও লেখা যায়, \( f(y) = ay^2 + by + c \), মানে \( x = ay^2 + by + c \)। প্রথমটার গ্রাফ ওপর নিচে খোলা বাটি, দ্বিতীয়টার গ্রাফ পাশে শোয়ানো।
সারা অধ্যায় জুড়ে একটাই উদাহরণ বারবার ফিরে আসবে, তাই সেটা এখনই চিনে রাখি:
\[ f(x) = x^2 - 5x + 6 \]কোয়াড্রাটিকের গ্রাফটার নাম parabola। আঁকার আগে কয়েকটা অংশের নাম জেনে নিলে পরে কথা বলতে সুবিধা হয়।
শীর্ষবিন্দু (vertex) হলো বাঁকের একদম তলা বা চূড়া। তার ভেতর দিয়ে যাওয়া খাড়া দাগটা axis of symmetry, দুপাশ আয়নার মতো সমান। উপরে খোলা প্যারাবোলায় শীর্ষবিন্দুই সবচেয়ে নিচু বিন্দু (minimum), নিচে খোলা হলে সবচেয়ে উঁচু (maximum)।
স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম ছাড়াও কোয়াড্রাটিককে গুণফলের আকারে লেখা যায়, একে বলে factored form বা intercept form:
\[ y = a\,(x - p)(x - q) \]এখানে \( p \) আর \( q \) হলো দুটো রুট, আর \( a \) ঠিক করে প্যারাবোলাটা কতটা সরু বা চওড়া হবে আর কোন দিকে খুলবে। আমাদের চেনা উদাহরণটা ভাঙলে এই রূপটা পরিষ্কার হয়:
মাঝের পদ \(-5x\) কে এমন দুই ভাগে ভাঙা হলো যাদের যোগফল \(-5\) আর গুণফল \(6\), তাই \(-3x\) আর \(-2x\)। এরপর গ্রুপ করে common বের করলেই গুণফলের রূপ পাওয়া যায়।
রুট মানে x এর সেই মানগুলো যেখানে ফাংশনের মান শূন্য হয়, অর্থাৎ \( f(x) = 0 \)। গ্রাফে এটাই সেই জায়গা যেখানে কার্ভটা x অক্ষ ছুঁয়ে যায়, তাই এদের x-intercept ও বলে।
সরলরেখার ক্ষেত্রে ব্যাপারটা সহজ। ধরা যাক \( f(x) = 5x + 3 \), রুট পেতে বসাই \( 5x + 3 = 0 \), তাই \( x = -\tfrac{3}{5} \), একটাই রুট। কোয়াড্রাটিকে সাধারণত দুটো রুট থাকে:
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; (x - 3)(x - 2) = 0 \;\Rightarrow\; x = 2,\ 3 \]মান বসিয়ে টেবিল বানালে দেখা যায় \( x = 2 \) আর \( x = 3 \) এই দুই জায়গায় \( y \) ঠিক শূন্য, আর শীর্ষবিন্দু পড়ে তাদের মাঝখানে \( \left(\tfrac{5}{2}, -\tfrac{1}{4}\right) \) তে।
| x | 0 | 1 | 5/2 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 6 | 2 | −1/4 | 0 | 0 | 2 |
নিচে নিজে রুট দুটো টেনে সরাও আর \( a \) বদলাও। লাল বিন্দু দুটো x অক্ষ ছোঁয়ার জায়গা (রুট), নীল বিন্দু শীর্ষবিন্দু। খেয়াল করো শীর্ষবিন্দু সবসময় ঠিক দুই রুটের মাঝ বরাবর থাকে।
a ধনাত্মক হলে বাটি উপরে খোলে, ঋণাত্মক হলে নিচে। a কে শূন্যের কাছে নিলে প্যারাবোলা চ্যাপ্টা, বড় করলে সরু হয়। কিন্তু রুট দুটো একই থাকে, কারণ x অক্ষ ছোঁয়ার জায়গা a বদলায় না।
রুট আর ফ্যাক্টরের সম্পর্কটা একটা সাফ নিয়মে বাঁধা, নাম factor theorem। যদি \( (x - p) \) ফাংশনের একটা ফ্যাক্টর হয়, তাহলে \( p \) হলো ফাংশনের একটা zero, অর্থাৎ \( f(p) = 0 \)। তাই রুট হয় \( x = p \), মাইনাস p নয়। কারণ \( x = p \) বসালেই \( (x - p) \) অংশটা শূন্য হয়ে পুরো গুণফল শূন্য করে দেয়।
\[ y = (x - p)(x - q),\quad x = p \;\Rightarrow\; y = (p - p)(p - q) = 0 = f(p) \]একই ব্যাপার y এর কোয়াড্রাটিকেও খাটে। \( x = y^2 - 5y + 6 \) কে ভাঙলে \( (y - 3)(y - 2) \), তাই রুট \( y = 2, 3 \)। এখানে \( y = 2 \) বা \( y = 3 \) দিলে \( x = 0 \) হয়, মানে কার্ভ y অক্ষ ছোঁয়, তাই এদের y-intercept বলে। এক কথায়, কতবার কার্ভ অক্ষ ছোঁয়, ঠিক ততগুলো বাস্তব রুট।
রুট বের করার কয়েকটা পথ আছে, পরিস্থিতি অনুযায়ী যেটা সুবিধা সেটা বেছে নিই: গুণনীয়ক বের করে (factorizing), গ্রাফ থেকে সরাসরি দেখে, আর যখন কিছুতেই সহজে ভাঙা যায় না তখন সূত্র দিয়ে। সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য হলো সূত্রটা, কারণ এটা সব কোয়াড্রাটিকে খাটে:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]এই সূত্রের ভেতরের \( \sqrt{\ } \) এর নিচের অংশটা, \( b^2 - 4ac \), একটা বিশেষ নাম পেয়েছে, discriminant। ওটাই ঠিক করে দেয় রুট ক'টা আর কেমন হবে, যা পরের অংশের গল্প।
সূত্রে বর্গমূলের নিচের রাশিটাকে বলে discriminant, লেখা হয় \( D = b^2 - 4ac \)। বর্গমূলের ভেতর কী আছে, সেটাই বলে দেয় রুটের ভাগ্য:
\( D > 0 \) হলে দুটো আলাদা বাস্তব রুট, প্যারাবোলা x অক্ষকে দুই জায়গায় কাটে। \( D = 0 \) হলে একটাই রুট দুবার (repeated), প্যারাবোলা x অক্ষকে শুধু ছুঁয়ে চলে যায়। আর \( D < 0 \) হলে কোনো বাস্তব রুট নেই, প্যারাবোলা অক্ষের ধারেকাছেও আসে না, রুট তখন imaginary সংখ্যা।
নিচে \( c \) টেনে প্যারাবোলাটাকে ওপর নিচে ওঠানামা করাও। দেখো কীভাবে \( D \) এর চিহ্নের সাথে রুটের সংখ্যা পাল্টায়।
এই উদাহরণে \( a = 1,\ b = -2 \), তাই \( D = 4 - 4c \)। c ছোট রাখলে D ধনাত্মক (দুই রুট), \( c = 1 \) তে D ঠিক শূন্য (এক রুট), c বড় করলে D ঋণাত্মক (কোনো বাস্তব রুট নেই)।
রুট পুরোপুরি না বের করেও তাদের যোগফল আর গুণফল জেনে নেওয়া যায়, শুধু সহগ দেখে। কোয়াড্রাটিক \( ax^2 + bx + c = 0 \) এর দুই রুট \( \alpha, \beta \) হলে:
\[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a} \]একই ধারা বড় ঘাতের সমীকরণেও চলে। ঘন সমীকরণ \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) এর তিন রুট \( \alpha, \beta, \gamma \) হলে:
\[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \qquad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} \]খেয়াল করো একটা সুন্দর প্যাটার্ন, চিহ্নগুলো একবার মাইনাস একবার প্লাস করে পাল্টায়, আর প্রতিবার \( a \) দিয়ে ভাগ। এই সম্পর্কগুলোকে একসাথে বলে Vieta এর সূত্র।
কোয়াড্রাটিকের তৃতীয় একটা রূপ আছে যেটা শীর্ষবিন্দু সরাসরি বলে দেয়, নাম vertex form:
\[ y = a\,(x - h)^2 + k \qquad \text{শীর্ষবিন্দু} = (h, k) \]এখানে \( (h, k) \) ই শীর্ষবিন্দু, \( a \) ধনাত্মক হলে বাটি উপরে খোলে (সেখানে minimum), ঋণাত্মক হলে নিচে (সেখানে maximum)। একটা কাজের কথা, শীর্ষবিন্দুর x মান সবসময় দুই রুটের ঠিক মাঝ বরাবর, অর্থাৎ গড়:
\[ h = \frac{p + q}{2} \]যেমন রুট যদি \( -3 \) আর \( 3 \) হয়, শীর্ষবিন্দুর x মান \( \frac{-3 + 3}{2} = 0 \)। মনে রাখার নিয়ম, দুই রুট যোগ করে দুই দিয়ে ভাগ, বিয়োগ নয়। নিচে \( a, h, k \) টেনে দেখো শীর্ষবিন্দু কীভাবে নড়ে আর বাটি কীভাবে খোলে।
শীর্ষবিন্দু সরে গেলে গোটা প্যারাবোলা সরে, কিন্তু আকার একই থাকে। সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান সবসময় ঠিক এই শীর্ষবিন্দুতেই।
আর যখন শীর্ষবিন্দু একদম মূলবিন্দুতে \( (0,0) \), তখন প্যারাবোলা চারটা সরল রূপ নেয়, কোন দিকে খুলবে তার উপর নির্ভর করে:
ডান বা উপরে খুললে \( +4a \), বাম বা নিচে খুললে \( -4a \)। y এর বর্গ থাকলে প্যারাবোলা শোয়ানো (ডান বা বাম), x এর বর্গ থাকলে দাঁড়ানো (উপর বা নিচে)।
পুরো অধ্যায়টা ঘুরেফিরে একটা বিন্দুতেই থামে, শীর্ষবিন্দু। রুট দুটোর মাঝখানে সে বসে, axis of symmetry তার ভেতর দিয়ে যায়, আর কোয়াড্রাটিকের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান সবসময় ঠিক ওখানেই পাওয়া যায়। সরলরেখা থেকে মাত্র এক ঘাত বাড়িয়ে এতগুলো সুন্দর জিনিস বেরিয়ে এলো, এটাই কোয়াড্রাটিকের মজা।
- কোয়াড্রাটিকের স্ট্যান্ডার্ড, ফ্যাক্টর্ড ও ভার্টেক্স ফর্ম, discriminant, Vieta এর সূত্র (roots এর যোগফল ও গুণফল) এবং factor theorem যাচাই করা হয়েছে স্ট্যান্ডার্ড বীজগণিত দিয়ে (OpenStax College Algebra, Paul's Online Math Notes)।
- প্রতিটা worked example (factoring, root, vertex, table, discriminant, sum-product) আলাদা করে SymPy দিয়ে কষে মিলিয়ে দেখা হয়েছে।