স্থানাঙ্ক জ্যামিতি · বীজগণিত · গণিতের ডায়েরি
সরলরেখা থেকে কোয়াড্রাটিক
রেখা, রুট, প্যারাবোলা ও কনিকের গল্প
সমীকরণ হলো এমন একটি গাণিতিক বাক্য যেখানে দুটি রাশি সমান বলে ঘোষণা করা হয়। যেমন, \[2x+1=7\]
এখানে সমান চিহ্নের বাম পাশের রাশি \(2x+1\) এবং ডান পাশের রাশি \(7\)। সমীকরণটি জানতে চাচ্ছে \(x\)-এর কোন মানের জন্য দুই পাশ সমান হবে?
অর্থাৎ \(x=3\) হলো এই সমীকরণের সমাধান বা মূল ।
সমীকরণে \(x\)-কে বলা হয় চলক (variable), একটি মাত্র চলক থাকায় একে এক চলক বিশিষ্ট সমীকরণ (Single Varibale Equation) বলে। এক চলকের সমীকরণে সাধারণত আমরা চলকের এমন একটি বা একাধিক মান খুঁজি, যেগুলো সমীকরণটিকে সত্য বা সিদ্ধ করে।
কোনো সমীকরণের দুইটি চলক (যেমন \(x\) এবং \(y\)) থাকলে তাকে আমরা দুই চলকবিশিষ্ট সমীকরণ (Two Variable Equation) বলি। এখানে একটি চলকের মান বেছে নিলে অন্যটির মান পাওয়া যায়। তাই সমাধান মানে এখন একটি সংখ্যা নয়, একটি জোড়া। অর্থাৎ দুই চলকের সমীকরণে একটি মাত্র মানের পরিবর্তে আমরা অনেকগুলো ordered pair পাই। যেমন,
\[y=2x+1\]এখানে \(x=0\) দিলে,
\[y=2(0)+1=1\]তাই একটি সমাধান হলো \((0,1)\)। একইভাবে,
\[x=1 \Rightarrow y=3,\qquad x=2 \Rightarrow y=5\]তাই আরও দুটি সমাধান \((1,3)\) ও \((2,5)\)। এই ordered pair-গুলো coordinate plane-এ বসালে একটি সরলরেখা তৈরি হয়। সেই সরলরেখাই সমীকরণটির graph।
আবার \(y=2x+1\)-কে আরেকভাবেও পড়া যায়: প্রতিটি \(x\)-এর জন্য একটি নির্দিষ্ট \(y\) তৈরি হচ্ছে। প্রতিটি input-এর জন্য ঠিক একটি output, এটাই function। তাই যেকোনো এমন সমীকরণকে function আকারে লেখা যায়,
\[y=f(x)=2x+1\]এখানে \(x\) হলো independent variable; তার মান আমরা স্বাধীনভাবে বেছে নিই। আর \(y\), মানে \(f(x)\), হলো dependent variable; তার মান নির্ভর করে \(x\)-এর ওপর। \(y\) আর \(f(x)\) আসলে একই জিনিসের দুটি নাম। \(f(0)=1\) লেখা আর ‘\(x=0\) হলে \(y=1\)’ বলা একই কথা।
প্রতিটি input-output জোড়াকে তাই function-এর ভাষায়ও লেখা যায়:
\[ f(0)=1\Rightarrow(0,1),\qquad f(1)=3\Rightarrow(1,3),\qquad f(2)=5\Rightarrow(2,5) \]এখন আসি Graph-এ। Graph মানে আসলে কী? দুই চলকের সমীকরণের সমাধান অসংখ্য ordered pair, আর প্রতিটি ordered pair হলো coordinate plane-এর একটি বিন্দু। সমীকরণটিকে সত্য করে এমন সব বিন্দু একসাথে যে ছবি তৈরি করে, সেটাই সমীকরণের graph। অর্থাৎ graph হলো সমাধানগুলোর ছবি: graph-এর প্রতিটি বিন্দু একটি সমাধান, আর প্রতিটি সমাধান graph-এর একটি বিন্দু।
গ্রাফ আঁকার সবচেয়ে মৌলিক পদ্ধতি:
- কয়েকটি সুবিধাজনক \(x\) বেছে নাও।
- সমীকরণে বসিয়ে সংশ্লিষ্ট \(y\) বের করো।
- \((x,y)\) বিন্দুগুলো coordinate plane-এ বসাও।
- ফাংশনের প্রকৃতি অনুযায়ী বিন্দুগুলো যুক্ত করো।
তিনটি সমাধান তিনটি বিন্দু হয়ে বসেছে– সব সমাধান একসাথে বসালেই পূর্ণ সরলরেখা আর রেখার প্রতিটি বিন্দুই সমীকরণের একটি সমাধান।
যে সমীকরণের graph একটি সরলরেখা, তাকে বলে linear equation। একই রেখাকে অনেকভাবে লেখা যায়– কোন তথ্য জানা আছে, তার ওপর নির্ভর করে graph equation বেছে নেওয়া হয়।
| Form | Equation | কখন ব্যবহার করি |
|---|---|---|
| Slope-intercept | \(y=mx+c\) | slope ও y-intercept জানা থাকলে |
| Point-slope | \(y-y_1=m(x-x_1)\) | একটি বিন্দু ও slope জানা থাকলে |
| Two-point | \(\displaystyle\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\) | দুটি বিন্দু জানা থাকলে |
| Intercept form | \(\displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) | x-intercept \(a\), y-intercept \(b\) জানা থাকলে |
| Normal form | \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) | origin থেকে রেখার perpendicular distance \(p\) জানা থাকলে |
| Horizontal line | \(y=k\) | সব বিন্দুর y-coordinate একই (constant) |
| Vertical line | \(x=h\) | সব বিন্দুর x-coordinate একই (constant) |
\(y=mx\): মূলবিন্দু দিয়ে সরলরেখা
সবচেয়ে সহজ straight-line equation হলো:
\[y=mx\]এখানে \(m\) হলো slope বা ঢাল।
\[m=\frac{\text{vertical change}}{\text{horizontal change}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]উদাহরণ হিসেবে \(y=2x\) নিলে– \(x\) এক একক বাড়লে \(y\) দুই একক বাড়ে, তাই slope \(2\)।
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y=2x | −4 | −2 | 0 | 2 | 4 |
আবার রেখাটি positive x-axis-এর সঙ্গে \(\theta\) কোণ তৈরি করলে:
\[m=\tan\theta\]তাই slope শুধু একটি সংখ্যা নয়; এটি রেখার দিক বা inclination-ও প্রকাশ করে।
কোন রেখায় \(x=0\) দিলে যদি \(y=0\) তবে ওই রেখা অবশ্যই মূলবিন্দু \((0,0)\) দিয়ে যায়, একে বলা হয় মূল বিন্দুগামী সরলরেখা।
তিনটি রেখাই মূলবিন্দু (0, 0) দিয়ে যায়। m যত বড়, রেখা তত খাড়া।
প্রতিটি রেখার জন্য θ হলো positive x-axis-এর সঙ্গে তৈরি কোণ, আর \(m=\tan\theta\)।
\(y=mx+c\): Slope-intercept form
সব non-vertical straight line-কে সাধারণভাবে লেখা যায়:
\[y=mx+c\]এখানে \(c\) হলো y-intercept– অর্থাৎ রেখাটি y-axis-কে যে বিন্দুতে ছেদ করে। কারণ \(x=0\) বসালে:
\[y=m(0)+c=c\quad\Rightarrow\quad (0,c)\]অতএব \(y=mx\) আসলে \(y=mx+c\)-এর বিশেষ রূপ, যেখানে \(c=0\)।
m বদলালে রেখাটি y-intercept-কে কেন্দ্র করে ঘোরে, c বদলালে slope অপরিবর্তিত রেখে পুরো রেখাটি ওপর-নিচে সরে যায়।
কোনো সমীকরণের slope, \(m\) এবং y-intercept, \(c\) জানা থাকলে, \(y=mx+c\) ব্যবহার করবো।
\(y-y_1=m(x-x_1)\): Point-slope form
একটি রেখার যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে slope একই। আমরা জানি, m = \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)। তাই একটি স্থির বিন্দু \((x_1,y_1)\) এবং রেখার আরেকটি চলমান বিন্দু \((x,y)\) নিলে:
\[m=\frac{y-y_1}{x-x_1}\quad\Rightarrow\quad y-y_1=m(x-x_1)\]এখন স্থির বিন্দুটি যদি y-axis-এর উপর \((0,c)\) হয়:
\[y-c=m(x-0)\quad\Rightarrow\quad y=mx+c\]অর্থাৎ slope-intercept form point-slope form-এরই বিশেষ রূপ। আবার \(c=0\) হলে \(y=mx\)।
সমীকরণটির একটি বিন্দু (1, 2) এবং slope 1/2।
কোনো সমীকরণের slope, \(m\) এবং একটি বিন্দু (\(x_1, y_1\)) জানা থাকলে, \(\quad y-y_1=m(x-x_1)\) ব্যবহার করবো।
\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\): Two-point form
দুটি বিন্দু \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) হলে, slope:
\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]আবার কোনো সমীকরণের slope এবং একটি বিন্দু (\(x_1, y_1\)) জানা থাকলে (Point-slope form):
\[m=\frac{y-y_1}{x-x_1}\]দুটি slope সমান, তাই:
\[\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\]দুটি বিন্দু (x₁, y₁) = (−2, −1) এবং (x₂, y₂) = (2, 2) হলে, slope, m = (2 − (−1)) / (2 − (−2)) = 3/4।
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\): Intercept form
একটি রেখাটি x-axis-কে \((a,0)\) এবং y-axis-কে \((0,b)\)-তে ছেদ করলে Two-point form-এ এই দুই বিন্দু বসাই:
\[\frac{y-0}{b-0}=\frac{x-a}{0-a}\] \[\Rightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\]রেখাটি অক্ষ দুটিকে কোথায় কাটে, শুধু সেটুকু জানলেই লেখা যায়: a = 3, b = 2, তাই x/3 + y/2 = 1।
\(y=k\): Horizontal line
একটি রেখার উপর দুটি বিন্দু \((x_1,k)\) ও \((x_2,k)\) নিলে – অর্থাৎ y-coordinate সবসময় constant হলে, slope,
\[m=\frac{k-k}{x_2-x_1}=0\]Slope-intercept form \(y=mx+c\)-এ \(m=0\) বসালে,
\[y=0\cdot x+c=c\]অর্থাৎ x যা-ই হোক, y সবসময় একই থাকে। এই ধ্রুবক (constant) মানকে \(k\) ধরলে সমীকরণ দাঁড়ায়,
\[y=k\]এটি x-axis-এর সমান্তরাল একটি horizontal line, যা y-axis-কে \((0,k)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
দুটি বিন্দুরই y-coordinate 2, x-এর মান যেকোনো হতে পারে, তাই slope = 0।
\(x=h\): Vertical line
এবার একটি রেখার উপর দুটি বিন্দু \((h,y_1)\) ও \((h,y_2)\) নিলে– অর্থাৎ x-coordinate সবসময় constant, slope,
\[m=\frac{y_2-y_1}{h-h}=\frac{y_2-y_1}{0}\]হর (denominator) শূন্য হওয়ায় slope সংজ্ঞায়িত নয়। তাই এই রেখাকে \(y=mx+c\) আকারে লেখা যায় না; সরাসরি লিখতে হয়,
\[x=h\]এটি y-axis-এর সমান্তরাল একটি vertical line, যা x-axis-কে \((h,0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
দুটি বিন্দুরই x-coordinate −2, y-এর মান যেকোনো হতে পারে, তাই slope সংজ্ঞায়িত নয়।
\(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\): Normal form
এতক্ষণ সরলরেখার যেসব রূপ দেখেছি, সেগুলোতে রেখাটির উপর একটি বা দুটি বিন্দু, slope কিংবা axis-intercept জানা দরকার ছিল। কিন্তু normal form রেখাটিকে একটু ভিন্নভাবে বর্ণনা করে। এখানে origin থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব এবং সেই লম্বের দিক জানলে রেখাটি নির্ধারণ করা যায়।
ধরা যাক, \(L\) একটি সরলরেখা। Origin \(O\) থেকে রেখাটির উপর একটি লম্ব টানা হলো, যা রেখাটিকে \(M\) বিন্দুতে ছেদ করে।
ধরি, \(OM=p\) এবং \(OM\), positive \(x\)-axis-এর সঙ্গে \(\alpha\) কোণ তৈরি করে।
এখন রেখাটির উপর যেকোনো একটি বিন্দু নিই, \(P(x,y)\)। আমাদের লক্ষ্য হলো, \(P(x,y)\)-এর coordinate ব্যবহার করে রেখাটির equation বের করা।
ধরি, মূলবিন্দু (Origin) থেকে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব, \(OP=r\) এবং \(OP\), positive \(x\)-axis-এর সঙ্গে \(\theta\) কোণ তৈরি করে। তাহলে polar coordinate-এর সম্পর্ক থেকে,
\[x=r\cos\theta\] \[y=r\sin\theta\]যেহেতু \(OM\perp MP\) তাই, \(\triangle OMP\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
\(\angle M\) সমকোণ
\(OM=p\) (মূলবিন্দু থেকে রেখা \(PL\)-এর perpendicular distance)
\(OP=r\) (মূলবিন্দু থেকে \(P\)-এর দূরত্ব)
\(OM\) ও \(OP\), positive x-axis-এর সঙ্গে যথাক্রমে α ও θ কোণ তৈরি করে, তাই \(\angle MOP=\theta-\alpha\)
\(OP\) এবং \(OM\)-এর মধ্যবর্তী কোণ হলো,
\[\theta-\alpha\]এখন সমকোণী ত্রিভুজ থেকে,
\[\cos(\theta-\alpha)=\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}=\frac{OM}{OP}\] \[\Rightarrow\cos(\theta-\alpha)=\frac{p}{r}\] \[\Rightarrow p=r\cos(\theta-\alpha)\]আমরা জানি,
\[\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\]তাই,
\[\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\]এটি \(p=r\cos(\theta-\alpha)\)-এ বসালে পাই,
\[p=r\left(\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right)\] \[\Rightarrow p=r\cos\theta\cos\alpha+r\sin\theta\sin\alpha\] \[\Rightarrow p=x\cos\alpha+y\sin\alpha\]অতএব,
\[x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\]এটিই সরলরেখার normal form।
এখন প্রশ্ন হলো এই সমীকরণ দ্বারা আসলে কি বুঝায়সহজভাবে সমীকরণটি বোঝায়?একটু অন্যভাবে চিন্তা করা যাক।
রেখাটির উপর যেকোনো একটি বিন্দু ধরি, \(P(x,y)\)
মূলবিন্দু \(O\) থেকে \(P\) বিন্দু পর্যন্ত যাওয়ার জন্য আমরা প্রথমে \(x\)-অক্ষ বরাবর \(x\) একক এবং তারপর \(y\)-অক্ষ বরাবর \(y\) একক চলতে পারি। অর্থাৎ, \(O\) থেকে \(P\)-তে যাওয়ার সম্পূর্ণ পথকে দুটি অংশে ভাগ করা যায়:
\[\overrightarrow{OP}=(x,0)+(0,y)\]এখন আমরা এই দুটি চলার কতটুকু \(OM\)-এর দিকে হয়েছে, তা বের করব।
প্রথমে আমরা \(x\)-অক্ষ বরাবর \(x\) একক চললে \(OM\)-এর দিকের অংশ হবে =
\[x\cos\alpha\]কারণ horizontal direction এবং \(OM\)-এর মধ্যবর্তী কোণ হলো \(\alpha\)।
এরপর আমরা vertical direction-এ \(y\) একক চললে, Vertical direction এবং \(OM\)-এর মধ্যবর্তী কোণ হলো, (\(90^\circ-\alpha\)) তাই vertical চললে \(OM\)-এর দিকের অংশ = \[y\cos(90^\circ-\alpha)\] \[= y\sin\alpha\]
তাই \(O\) থেকে \(P\)-তে যাওয়ার সময় \(OM\)-এর দিকে মোট অগ্রসর হওয়া দূরত্ব =
\[x\cos\alpha+y\sin\alpha\]কিন্তু origin থেকে \(OM\) রেখাটির perpendicular distance, \(OM=p\)
তাই,
\[x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\]অর্থাৎ, \(x\cos\alpha\) ও \(y\sin\alpha\) যোগ করলে origin থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব পাওয়া যায়।
তাহলে এভাবে বলা যায় \(x\cos\alpha + y\sin\alpha = p\) হলো একটি সরলরেখার সমীকরণ, যেখানে রেখাটি মূলবিন্দু (origin) থেকে লম্বভাবে (p) দূরত্বে অবস্থিত। এখানে \(alpha\) হলো সেই লম্বের ধনাত্মক \(x\)-অক্ষের সাথে কোণ, অর্থাৎ এটি রেখার দিক নয়, রেখার normal (লম্ব)-এর দিক নির্দেশ করে।
এখন যদি \(\alpha=0^\circ\) হয়,
সমীকরণটি হবে,
\[x\cos0^\circ+y\sin0^\circ=p\] \[\Rightarrow x=p\]তখন \(OM\) positive \(x\)-axis বরাবর থাকে। সমীকরণটি একটি vertical line, যা origin থেকে \(p\) একক দূরে অবস্থিত।
আবার যদি, \(\alpha=90^\circ\) হয়,
তাহলে,
\[x\cos90^\circ+y\sin90^\circ=p\] \[\Rightarrow y=p\]এটি একটি horizontal line, যা origin থেকে \(p\) একক উপরে অবস্থিত।
রেখাটি \(3x+4y=10\), \(r\) = \(\sqrt{3^2+4^2}=5\)
5 দিয়ে দুই পাশ ভাগ করলে, \(\tfrac35x+\tfrac45y=2\)
Normal form \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\)-এর সঙ্গে তুলনা করে, \(\cos\alpha=\tfrac35,\ \sin\alpha=\tfrac45,\ p=2\), অর্থাৎ \(\alpha\approx53.13°\)।
এতক্ষণ যেসব equation দেখলাম, প্রতিটির পেছনে একটা শর্ত ছিল– কোনোটায় একটা বিন্দু জানা লাগে, কোনোটায় দুটো ইন্টারসেপ্ট, কোনোটায় origin থেকে দূরত্ব। General form হলো এটি যেকোনো সরলরেখাকে সাধারণভাবে প্রকাশ করতে পারে:
\[Ax+By+C=0\]General form থেকে slope ও intercept:
যদি \(B\neq0\),:
\[By=-Ax-C\quad\Rightarrow\quad y=-\frac ABx-\frac CB\]slope \(m=-\frac AB\), y-intercept \(c=-\frac CB\)।
কিন্তু \(B=0\) হলে equation দাঁড়ায় \(x=-\frac CA\), যা vertical line– এর slope সংজ্ঞায়িত নয়। ফলে সব line-কে \(y=mx+c\) দিয়ে লেখা যায় না।
Horizontal রেখার slope 0, কিন্তু Vertical রেখার slope সংজ্ঞায়িত নয়।
একই plane-এ দুটি সরলরেখা মূলত দুইভাবে থাকতে পারে:
- Parallel (কখনো ছেদ করে না)
- Intersecting (এক বিন্দুতে ছেদ করে)
- Perpendicular (ঠিক ৯০°-তে ছেদ করে)
এসব কিছু নির্ধারণ করে তাদের slope।
Slope সমান হলে রেখা দুটি কখনো দেখা করে না। Slope ভিন্ন হলে ঠিক এক বিন্দুতে দেখা হয়; আর গুণফল −1 হলে রেখা দুটির দেখা হয় 90°-তে।
দুই রেখার মধ্যবর্তী কোণ
ধরা যাক, দুটি রেখা positive \(x\)-axis-এর সঙ্গে যথাক্রমে \(\theta_1\) ও \(\theta_2\) কোণ তৈরি করে। তাহলে তাদের slope, \(m_1=\tan\theta_1\) এবং \(m_2=\tan\theta_2\)। রেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\theta_1-\theta_2\), তাই,
\[\tan\theta=\tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}\]\(\tan\theta_1=m_1\) এবং \(\tan\theta_2=m_2\) বসিয়ে,
\[\tan\theta=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\]ধনাত্মক (acute) কোণ:
\[\tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\]এই সূত্র থেকে parallel ও perpendicular– বের করা যায়।
\(m_1=m_2\): Parallel
দুটি রেখা parallel হলে তারা একই দিকে থাকে, অর্থাৎ তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=0°\)। তখন,
\[\tan0°=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}= 0\] \[\Rightarrow \tan0°=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}= \frac{0}{1}\] \[\Rightarrow m_1-m_2=0\quad\] \[\Rightarrow m_1=m_2\]অর্থাৎ দুটি রেখার slope সমান হলেই তারা parallel– একই দিকে এবং চলে কখনো মিলিত হয় না।
রেখা দুটি ভিন্ন বিন্দুতে x-axis ছেদ করে, কিন্তু প্রতিটির জন্য θ₁ ও θ₂ ঠিক সমান, তাই m₁ = tan θ₁ = tan θ₂ = m₂।
\(m_1m_2=-1\): Perpendicular
দুটি রেখা perpendicular হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=90°\)। কিন্তু \(\tan90°\) সংজ্ঞায়িত নয়:
\[\tan90°=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}={\frac{1}{0}}\] \[\Rightarrow 1+m_1m_2=0\quad\] \[\Rightarrow m_1m_2=-1\]অর্থাৎ দুটি রেখা perpendicular হলে তাদের slope-দ্বয়ের গুণফল সবসময় \(-1\), একটির slope ধনাত্মক হলে অন্যটি ঋণাত্মক, আর একটি আসলে অন্যটির negative reciprocal।
দুটি রেখা O বিন্দুতে ঠিক 90° কোণে ছেদ করে– তাদের গুণফল সবসময় −1।
General form থেকে normal form
সরলরেখার general form হলো,
\[Ax+By+C=0\]এখানে \(A\) ও \(B\) যথাক্রমে \(x\) ও \(y\)-এর coefficient। Origin থেকে \(A\) একক \(x\)-দিকে এবং \(B\) একক \(y\)-দিকে গেলে যে দিক ও দৈর্ঘ্যের তীর পাওয়া যায়, সেটিই vector \((A,B)\)।
এখন General form থেকে \(y\) আলাদা করলে,
\[By=-Ax-C\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}\]রেখাটির slope,
\[m_{\text{line}}=-\frac{A}{B}\]এবার \((A,B)\) vector-টিকে origin \(O(0,0)\) থেকে \(P(A,B)\) বিন্দু পর্যন্ত একটি তীর হিসেবে ভাবি। এখানে horizontal change হলো \(A-0=A\) এবং vertical change হলো \(B-0=B\)। তাই slope-এর সূত্র \(m=\frac{\text{vertical change}}{\text{horizontal change}}\) থেকে,
\[m_{\text{vector}} = \frac{B-0}{A-0} = \frac{B}{A}\]দুটি slope গুণ করলে,
\[m_{\text{line}}\times m_{\text{vector}}=\left(-\frac{A}{B}\right)\times\frac{B}{A}=-1\]দুটি রেখার slope-এর গুণফল \(-1\) হওয়া মানেই তারা পরস্পর perpendicular। তাই \((A,B)\) vectorটি রেখাটির উপর সবসময় লম্ব—এই কারণেই একে রেখাটির normal vector বলা হয়।
হালকা রঙের তীরটি \(O\) থেকে টানা, আর গাঢ় তীরটি রেখার উপর বসানো– দুটোই একই দৈর্ঘ্যের ও একই দিকের \((A,B)\) vector। \(O\) থেকে টানলে এর slope, \(m_{\text{vector}}=B/A\)। এই একই vector রেখার উপর বসালে দেখা যায়, রেখার slope \(-A/B\)-এর সঙ্গে এর গুণফল \(-1\), অর্থাৎ সমকোণ।
এখন যেহেতু \((A,B)\) রেখাটির normal vector, তাই এর length বা magnitude জানা দরকার। Pythagoras-এর সূত্র থেকে,
\[r=\sqrt{A^2+B^2}\]কিন্তু Normal form-এ \(x\) ও \(y\)-এর coefficient দুটি \(\cos\alpha\) ও \(\sin\alpha\) এবং এদের বৈশিষ্ট্য হলো:
\[\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\]তাই \(r\) দিয়ে \(A\) ও \(B\)-কে ভাগ করে vector-টিকে unit vector বানানো হয়। অর্থাৎ,
\[\left(\frac{A}{r},\frac{B}{r}\right)\]আচ্ছা, একটি উদাহরণ দিয়ে বুঝা যাক, ধরা যাক সরলরেখাটি,
\[3x+4y=5\]এখানে normal vector হলো \((3,4)\), যার দৈর্ঘ্য,
\[r=\sqrt{3^2+4^2}=5\]এবার পুরো equation-কে \(5\) দিয়ে ভাগ করলে পাই,
\[\frac35x+\frac45y=1\]এখন coefficient দুটির squares-এর যোগফল,
\[\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2 = \frac9{25}+\frac{16}{25} = 1\]তাই \(\frac35\) ও \(\frac45\)-কে যথাক্রমে \(\cos\alpha\) ও \(\sin\alpha\) লেখা যায়:
\[\cos\alpha=\frac35,\qquad\sin\alpha=\frac45\]অর্থাৎ \(r\) দিয়ে ভাগ করার উদ্দেশ্য হলো \((A,B)\) vector-টির দৈর্ঘ্য \(1\) করা, যাতে তার components-কে \(\cos\alpha\) ও \(\sin\alpha\) হিসেবে লেখা যায়। Coefficient দুটিকে একটি unit vector যার length \(1\) হতে হবে। তাই \(Ax+By+C=0\)-কে \(r\) দিয়ে ভাগ করি:
\[\frac{A}{r}x+\frac{B}{r}y+\frac{C}{r}=0\]এখন,
\[\left(\frac{A}{r}\right)^2+\left(\frac{B}{r}\right)^2=1\]তাই আমরা লিখতে পারি,
\[\frac{A}{r}=\cos\alpha,\qquad\frac{B}{r}=\sin\alpha\]ফলে equation-টি হয়,
\[x\cos\alpha+y\sin\alpha=-\frac{C}{r}\]Normal form হলো,
\[x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\]তাই তুলনা করলে,
\[p=-\frac{C}{r}\]কিন্তু \(p\) একটি দূরত্ব, তাই এটি negative হতে পারে না। এজন্য absolute value নিয়ে লিখি,
\[{d=\frac{|C|}{r}=\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\]Origin-এর বদলে যেকোনো বিন্দু থেকে দূরত্ব
এখন origin-এর বদলে একটি বিন্দু ধরি, \(P(x_1,y_1)\)। এই বিন্দুটিকেই নতুন origin হিসেবে ভাবি। নতুন coordinate (\(X, Y\)) ধরি,
\[X=x-x_1,\qquad Y=y-y_1\]অর্থাৎ \(x=X+x_1\), \(y=Y+y_1\)। এগুলো মূল রেখার equation-এ বসাই:
\[A(X+x_1)+B(Y+y_1)+C=0\] \[\Rightarrow AX+BY+Ax_1+By_1+C=0\] \[\Rightarrow AX+BY=-(Ax_1+By_1+C)\]তাই যেকোনো বিন্দু \(P(x_1,y_1)\) থেকে \(Ax+By+C=0\) রেখার perpendicular distance:
\[{d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}\]শুরুতেই আমরা দেখেছিলাম, কোনো equation-এর root বা solution হলো সেই মান, যা equation-টিকে সত্য করে। Function-এর ভাষায় \(f(x)=0\) হলে \(x\) একটি zero। সবচেয়ে সহজ উদাহরণ, যেখানে \(x\)-এর ঘাত মাত্র \(1\):
\[5x+3=0\quad\Rightarrow\quad x=-\frac35\]এই equation-টির সমাধান বা root ঠিক একটি। Graph-এ এর মানে, রেখা \(y=5x+3\), x-axis-কে ঠিক একটি বিন্দু \(\left(-\tfrac35,\,0\right)\)-তে ছেদ করে। ফাংশনের ভাষায় এটাকে \(f\!\left(-\tfrac35\right)=0\) লিখে প্রকাশ করা হয়।
Degree 1-এর সমীকরণের root ঠিক একটি; রেখাটি x-axis-কে একবারই ছেদ করে।
এই root-এর সঙ্গে সমীকরণটির একটা সহজ কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক আছে। লক্ষ করো, \(5x+3\)-কে লেখা যায় \(5\left(x+\tfrac35\right)\) আকারে। এখানে \(x=-\tfrac35\) বসালে bracket-এর ভেতরটা শূন্য হয়ে যায়— আর যেকোনো কিছুকে শূন্য দিয়ে গুণ করলে ফলাফল শূন্যই হয়, তাই পুরো expression-ও শূন্য হয়ে যায়। এই কারণেই \(-\tfrac35\) একটি root।
এই একই যুক্তি যেকোনো polynomial-এর জন্য খাটে, একে বলে Factor theorem। ধরা যাক, \((x-r)\) হলো polynomial \(f(x)\)-এর একটি factor। তাহলে \(x=r\) বসালেই \((x-r)\) অংশটা শূন্য হয়ে যাবে, ফলে পুরো \(f(x)\)-ও শূন্য হয়ে যাবে, অর্থাৎ \(f(r)=0\)। উল্টোদিক থেকেও একই কথা সত্য— \(f(r)=0\) হলে বোঝা যায়, \((x-r)\) অবশ্যই \(f(x)\)-এর একটি factor।
\[(x-r)\mid f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad f(r)=0\]যেমন উপরের উদাহরণে root \(-\tfrac35\)-এর factor \(\left(x+\tfrac35\right)=\left(x-\left(-\tfrac35\right)\right)\)। মনে রাখার সূক্ষ্ম বিষয়: factor যদি \((x-3)\), root হলো \(3\); factor যদি \((x+3)=(x-(-3))\), root হলো \(-3\)। root ও factor তাই সবসময় হাত ধরাধরি করে চলে— এই সম্পর্কটাই একটু পরে degree ২ ও ৩-এর সমীকরণ factor করে root বের করতে কাজে লাগবে।
এবার আসি ঘাতের কথায়— root-সংখ্যা আসলে নির্ভর করে সমীকরণের ঘাতের ওপর। বহুপদী রাশি (Polynomial)-র degree হলো চলকের সর্বোচ্চ ঘাত।
এবার degree ২-এর একটি সমীকরণ দেখি, যেখানে root দুটো হতে পারে। ধরা যাক, \(x^2-5x+6=0\)। Factor করলে,
\[(x-2)(x-3)=0\quad\Rightarrow\quad x=2,3\]দুটো root পাওয়া গেল— এবার graph-টি x-axis-কে ছেদ করবে দুটো বিন্দুতে, ঠিক যেমন degree ১-এর রেখা করেছিল একটিতে।
Factored form \(y=a(x-p)(x-q)\)-এ p ও q সরাসরি roots। a বদলালে graph-এর opening ও width বদলায়, কিন্তু roots অপরিবর্তিত থাকে।
এখন প্রশ্ন হলো– ঘাত বাড়লে root-সংখ্যার পাশাপাশি graph-এর আকৃতিরও কী পরিবর্তন হয়?
Degree 1 function-এর rate of change স্থির, তাই তার graph straight line। কিন্তু degree 2 function-এ \(x\)-এর পরিবর্তনের প্রভাবে slope স্থির থাকে না, তাই graph বাঁকতে শুরু করে। একটি উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক: \(y=2x\) এবং \(y=x^2\):
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y=2x | −6 | −4 | −2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
| y=x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
প্রথম সারিতে \(x\) এক ধাপ বাড়লে \(y\) প্রতিবার ঠিক ২ করে বাড়ে– \(x\) ঋণাত্মক হোক বা ধনাত্মক, rate of change সবসময় constant থাকে, তাই graph একটি সরলরেখা। দ্বিতীয় সারিতে rate of change প্রতি ধাপে বদলাচ্ছে– প্রথমে কমছে, তারপর বাড়ছে, তাই graph-টি বাঁকা।
সরলরেখা সব জায়গায় একই হারে ওঠে; parabola যত ডানে (বা বামে) যায়, তত দ্রুত ওঠে। হারের এই বদলটাই বাঁক।
এতক্ষণ degree ১ ও ২ দেখলাম। এবার degree ৩-এর একটি সমীকরণ দেখি, যেখানে root তিনটে পর্যন্ত হতে পারে। ধরা যাক,
\[x^3-6x^2+11x-6=0\]Factor করলে,
\[(x-1)(x-2)(x-3)=0\quad\Rightarrow\quad x=1,2,3\]তিনটি root! Graph-এ curve-টি x-axis-কে ঠিক তিনবার ছেদ করে।
Degree ৩-এর curve x-axis-কে সর্বোচ্চ তিনবার ছেদ করতে পারে; এখানে root তিনটিই আলাদা— \(1\), \(2\) ও \(3\)।
লক্ষ করো প্যাটার্নটা— degree ১-এ root ১টি ছিল, degree ২-এ root ২টি, আর degree ৩-এ root ৩টি। একটি polynomial-এর degree-ই বলে দেয় তার root সর্বোচ্চ কতগুলো হতে পারে।
এই লেখায় এবার থেকে আমরা মূলত degree ২, অর্থাৎ quadratic equation নিয়েই কাজ করব। শুরুতেই একটা বিষয় স্পষ্ট করে নেওয়া ভালো— একই expression-কে দুইভাবে ব্যবহার করা যায়:
\(ax^2+bx+c=0\) লিখলে আমরা x-এর নির্দিষ্ট সমাধান বা roots খুঁজি। \(y=ax^2+bx+c\) লিখলে একই expression-কে function হিসেবে দেখি এবং তার graph আঁকি।
Quadratic equation-এর standard form:
\[ax^2+bx+c=0,\qquad a\neq0\]\(a=0\) হলে \(x^2\) term চলে যায় এবং equation আবার linear হয়ে যায়। তাই \(a\neq0\) শর্তটি অপরিহার্য।
সব quadratic একই পদ্ধতিতে সহজে সমাধান হয় না। তাই চারটি প্রধান পথ জানা দরকার।
১. Factorization
২. Square-root method
Equation যদি \((x-h)^2=k\) রূপে থাকে:
\[(x-h)^2=k\quad\Rightarrow\quad x-h=\pm\sqrt{k}\quad\Rightarrow\quad x=h\pm\sqrt{k}\]\(\pm\) চিহ্নটি জরুরি, কারণ positive ও negative—দুই সংখ্যার square একই হতে পারে।
৩. Completing the square
উদাহরণ: \(x^2-6x+5=0\)। প্রথমে constant অন্য পাশে:
\[x^2-6x=-5\]x-এর coefficient-এর অর্ধেক \(-3\), তার square 9। দুই পাশে 9 যোগ করি:
\[x^2-6x+9=4\quad\Rightarrow\quad(x-3)^2=4\] \[x-3=\pm2\quad\Rightarrow\quad x=1,5\]এই পদ্ধতিই quadratic formula এবং vertex form—দুটোর ভিতরের মূল ধারণা।
৪. Quadratic formula
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]এটি কোনো হঠাৎ পাওয়া সূত্র নয়; general equation-এ completing the square করলেই আসে।
Formula দিয়ে একটি non-factorable example
\(2x^2+3x-7=0\)-এ \(a=2,b=3,c=-7\)।
\[ x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4(2)(-7)}}{2(2)} =\frac{-3\pm\sqrt{65}}{4} \]Integer factor না পাওয়া গেলেও formula exact roots দেয়। Decimal approximation চাইলে \(x\approx1.266\) এবং \(x\approx-2.766\)।
Quadratic formula-র square root-এর ভেতরের অংশ:
\[D=b^2-4ac\]একে discriminant বলে, কারণ এটি roots-এর প্রকৃতি আলাদা করে দেয়।
| Condition | Roots | Graph |
|---|---|---|
| \(D>0\) | দুটি distinct real root | parabola x-axis-কে দুই বিন্দুতে কাটে |
| \(D=0\) | একটি repeated real root | parabola x-axis-কে এক বিন্দুতে স্পর্শ করে |
| \(D<0\) | দুটি non-real complex conjugate root | parabola x-axis-কে কাটে না |
এই উদাহরণে \(D=4-4c\)। c বাড়লে graph ওপরে ওঠে এবং একসময় x-axis থেকে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়।
\(ax^2+bx+c=0\)-এর roots \(\alpha,\beta\) হলে:
\[\alpha+\beta=-\frac ba,\qquad \alpha\beta=\frac ca\]এটি দেখা যায় factored form থেকে:
\[a(x-\alpha)(x-\beta)=a\left[x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right]\]Coefficient তুলনা করলে Vieta-এর relation পাওয়া যায়।
Roots থেকে equation তৈরি
Roots যদি \(2\) ও \(5\), তবে:
\[(x-2)(x-5)=0\quad\Rightarrow\quad x^2-7x+10=0\]Leading coefficient \(a\) নির্দিষ্ট থাকলে:
\[a(x-\alpha)(x-\beta)=0\]যেমন roots \(-1,3\) এবং leading coefficient 2 হলে:
\[2(x+1)(x-3)=0\quad\Rightarrow\quad2x^2-4x-6=0\]Roots থেকে sign chart
ধরা যাক \(p যদি \(a>0\), parabola উপরে খোলে: roots-এর বাইরে \(f(x)>0\), মাঝখানে \(f(x)<0\)। যদি \(a<0\), সব sign উল্টো হয়। এই ধারণা quadratic inequality সমাধানে ব্যবহৃত হয়। যেমন \((x-2)(x-5)<0\) কেবল দুই root-এর মাঝখানে সত্য, তাই \(2
Quadratic function-এর standard form:
\[y=ax^2+bx+c,\qquad a\neq0\]এর graph-এর নাম parabola। একই function-কে তিনটি গুরুত্বপূর্ণ form-এ দেখা যায়:
Standard form
y-intercept \((0,c)\) সরাসরি দেখা যায়।
Factored form
roots \(p,q\) সরাসরি দেখা যায়।
Vertex form
vertex \((h,k)\) সরাসরি দেখা যায়।
Axis of symmetry
parabola-কে দুই সমান অংশে ভাগ করে।
Vertex হলো turning point। Focus ও directrix থেকে সমদূরত্বের সব বিন্দু মিলেই parabola তৈরি হয়। Axis of symmetry focus ও vertex-এর মধ্য দিয়ে যায়।
Standard form থেকে vertex form
Completing the square ব্যবহার করি:
\[ y=ax^2+bx+c =a\left(x^2+\frac ba x\right)+c \] \[ y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right) \]তাই vertex:
\[\left(-\frac{b}{2a},\;c-\frac{b^2}{4a}\right)=\left(-\frac{b}{2a},\;-\frac{D}{4a}\right)\]উদাহরণ হিসেবে পুরো প্রক্রিয়ায় \(y=x^2-5x+6\) আঁকি।
- Opening: \(a=1>0\), তাই parabola উপরে খুলবে।
- Axis: \(x=-\frac{b}{2a}=\frac52\)।
- Vertex: \(x=\frac52\) বসালে \(y=-\frac14\), তাই vertex \(\left(\frac52,-\frac14\right)\)।
- x-intercepts: \((x-2)(x-3)=0\), তাই \((2,0)\), \((3,0)\)।
- y-intercept: \(x=0\Rightarrow y=6\), তাই \((0,6)\)।
- Symmetry: axis-এর এক পাশে থাকা বিন্দুর mirror point অন্য পাশে বসাও।
- সব বিন্দুর মধ্য দিয়ে smooth curve আঁকো; বিন্দুগুলোকে straight segment দিয়ে যুক্ত করো না।
| x | 0 | 1 | 2 | 2.5 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 6 | 2 | 0 | −0.25 | 0 | 2 | 6 |
h graph-কে horizontal দিকে সরায়, k vertical দিকে সরায়, আর a opening ও width নিয়ন্ত্রণ করে।
Domain, range, maximum ও minimum
সব vertical parabola \(y=a(x-h)^2+k\)-এর domain:
\[(-\infty,\infty)\]যদি \(a>0\), minimum value \(k\) এবং range \([k,\infty)\)। যদি \(a<0\), maximum value \(k\) এবং range \(( -\infty,k]\)।
একটি double cone-কে বিভিন্ন কোণে plane দিয়ে কাটলে চার ধরনের প্রধান curve পাওয়া যায়: circle, ellipse, parabola, hyperbola। Coordinate geometry-তে এগুলো second-degree equation দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\]এটি দুই চলকের general second-degree equation। যথাযথ translation ও কখনো rotation-এর পরে এটি কোনো conic-এর standard form নিতে পারে।
Circle হলো ellipse-এর বিশেষ রূপ। Parabola-র eccentricity 1; ellipse-এর 1-এর কম; hyperbola-র 1-এর বেশি।
এক চলকের quadratic equation-এ \(D=b^2-4ac\) roots-এর প্রকৃতি বলে। General conic equation-এ \(B^2-4AC\) conic-এর type সম্পর্কে ধারণা দেয়। দুটি আলাদা প্রসঙ্গ ও আলাদা coefficient।
| \(B^2-4AC\) | Conic type | শর্ত |
|---|---|---|
| \(<0\) | ellipse-type | circle-ও এর অন্তর্ভুক্ত; degenerate হতে পারে |
| \(=0\) | parabola-type | parallel lines-এর মতো degenerate case-ও হতে পারে |
| \(>0\) | hyperbola-type | intersecting lines-এর মতো degenerate case-ও হতে পারে |
Parabola হলো এমন সব বিন্দুর locus, যাদের একটি fixed point—focus—থেকে দূরত্ব এবং একটি fixed line—directrix—থেকে perpendicular distance সমান।
Vertex origin-এ হলে standard forms:
\(y^2\) থাকলে parabola horizontal; \(x^2\) থাকলে vertical। Positive sign যথাক্রমে right/up, negative sign left/down নির্দেশ করে।
| Equation | Focus | Directrix | Axis |
|---|---|---|---|
| \(y^2=4ax\) | \((a,0)\) | \(x=-a\) | x-axis |
| \(y^2=-4ax\) | \((-a,0)\) | \(x=a\) | x-axis |
| \(x^2=4ay\) | \((0,a)\) | \(y=-a\) | y-axis |
| \(x^2=-4ay\) | \((0,-a)\) | \(y=a\) | y-axis |
Latus rectum হলো focus-এর মধ্য দিয়ে axis-এর perpendicular chord; এর দৈর্ঘ্য \(4a\)। Vertex \((h,k)\)-এ সরালে:
\[(y-k)^2=4a(x-h),\qquad (x-h)^2=4a(y-k)\]Function form \(y=A(x-h)^2+k\) এবং conic form \((x-h)^2=4a(y-k)\)-এর coefficient-এর সম্পর্ক:
\[A=\frac{1}{4a}\]একটি fixed point থেকে সমান দূরত্বে থাকা সব বিন্দুর locus হলো circle। Fixed point-টি center, আর সমান দূরত্ব radius।
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]এখানে center \((h,k)\), radius \(r\)। Origin-centered circle হলে:
\[x^2+y^2=r^2\]Standard form কোথা থেকে আসে?
Circle-এর যেকোনো বিন্দু \((x,y)\) থেকে center \((h,k)\)-এর distance \(r\):
\[\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}=r\]দুই পাশে square করলেই circle equation।
General form
\[x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\]Completing the square করলে:
\[(x+g)^2+(y+f)^2=g^2+f^2-c\]তাই center ও radius:
\[\text{center}=(-g,-f),\qquad r=\sqrt{g^2+f^2-c}\]যদি \(g^2+f^2-c>0\), real circle; সমান 0 হলে point circle; negative হলে real plane-এ কোনো circle নেই।
Unrotated general equation-এ \(x^2\) ও \(y^2\)-এর coefficient সমান এবং \(xy\) term নেই। যেমন \(x^2+y^2-6x+4y-12=0\)।
Tangent
Origin-centered circle \(x^2+y^2=r^2\)-এ \((x_1,y_1)\) বিন্দুর tangent:
\[xx_1+yy_1=r^2\]Ellipse হলো এমন সব বিন্দুর locus, যাদের দুটি fixed point—foci—থেকে দূরত্বের যোগফল একটি ধ্রুবক।
Center origin এবং major axis x-axis বরাবর হলে:
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a>b>0\]| বৈশিষ্ট্য | মান |
|---|---|
| Center | \((0,0)\) |
| Vertices | \((\pm a,0)\) |
| Co-vertices | \((0,\pm b)\) |
| Foci | \((\pm c,0)\), যেখানে \(c^2=a^2-b^2\) |
| Eccentricity | \(e=\frac ca\), তাই \(0 |
| Directrices | \(x=\pm\frac ae=\pm\frac{a^2}{c}\) |
Major axis y-axis বরাবর হলে denominators-এর অবস্থান বদলায়:
\[\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\]Center \((h,k)\)-এ সরালে:
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\]Circle-এ \(a=b=r\); তাই circle ellipse-এর special case।
Tangent
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এ \((x_1,y_1)\) বিন্দুর tangent:
\[\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1\]Hyperbola হলো এমন সব বিন্দুর locus, যাদের দুটি focus থেকে দূরত্বের absolute difference একটি ধ্রুবক।
Transverse axis x-axis বরাবর standard form:
\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\]| বৈশিষ্ট্য | মান |
|---|---|
| Center | \((0,0)\) |
| Vertices | \((\pm a,0)\) |
| Foci | \((\pm c,0)\), যেখানে \(c^2=a^2+b^2\) |
| Eccentricity | \(e=\frac ca>1\) |
| Asymptotes | \(y=\pm\frac ba x\) |
Transverse axis y-axis বরাবর হলে:
\[\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\]Center \((h,k)\)-এ সরালে:
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\]Asymptote curve-এর অংশ নয়; কিন্তু graph দূরে গেলে asymptote-এর খুব কাছে চলে যায়। Graph আঁকার সময় center-এর চারপাশে \(2a\times2b\) rectangle এঁকে তার diagonals বাড়ালে asymptotes পাওয়া যায়।
Rectangular hyperbola
Asymptotes পরস্পর perpendicular হলে rectangular hyperbola। একটি পরিচিত form:
\[xy=c^2\]Tangent
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এ \((x_1,y_1)\) বিন্দুর tangent:
\[\frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1\]Graph আঁকার জন্য বারবার x বেছে y solve করা সবসময় সুবিধাজনক নয়। Parametric form-এ একটি parameter—সাধারণত \(\theta\) বা \(t\)—বদলালেই curve-এর বিন্দু পাওয়া যায়।
| Conic | Equation | Parametric point | কেন কাজ করে |
|---|---|---|---|
| Circle | \(x^2+y^2=r^2\) | \((r\cos\theta,r\sin\theta)\) | \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) |
| Ellipse | \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) | \((a\cos\theta,b\sin\theta)\) | একই trigonometric identity |
| Parabola | \(y^2=4ax\) | \((at^2,2at)\) | \((2at)^2=4a(at^2)\) |
| Hyperbola | \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) | \((a\sec\theta,b\tan\theta)\) | \(\sec^2\theta-\tan^2\theta=1\) |
এগুলো শুধু plotting trick নয়। একটি point সত্যিই curve-এর উপর আছে কি না, equation-এ parametric coordinates বসালেই পরিচিত identity ব্যবহার করে যাচাই করা যায়।
- সব term এক পাশে এনে general second-degree form-এ লেখো।
- \(x^2\), \(xy\), \(y^2\)-এর coefficients—\(A,B,C\)—চিহ্নিত করো।
- \(B^2-4AC\) দেখে ellipse/parabola/hyperbola type অনুমান করো।
- Completing the square করে center বা vertex বের করো।
- Standard form-এ নিয়ে বাস্তব, degenerate নাকি imaginary—যাচাই করো।
Example 1 · Circle
\[x^2+y^2-6x+4y-12=0\] \[(x-3)^2-9+(y+2)^2-4=12\] \[(x-3)^2+(y+2)^2=25\]Center \((3,-2)\), radius 5।
Example 2 · Ellipse
\[9x^2+4y^2=36\quad\Rightarrow\quad\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\]বড় denominator 9 y-এর নিচে, তাই major axis y-axis বরাবর।
Example 3 · Parabola
\[x^2-4x-8y+12=0\] \[(x-2)^2=8(y-1)\]এটি \((x-h)^2=4a(y-k)\) form; vertex \((2,1)\), \(4a=8\Rightarrow a=2\), focus \((2,3)\), directrix \(y=-1\)।
Example 4 · Hyperbola
\[4x^2-9y^2=36\quad\Rightarrow\quad\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\]Opposite signs-এর squared terms hyperbola-এর শক্তিশালী সংকেত। এখানে vertices \((\pm3,0)\), asymptotes \(y=\pm\frac23x\)।
- Equation একটি equality; function প্রতিটি input-কে একটি output দেয়; graph সেই সম্পর্কের ছবি।
- \(y=mx+c\)-এ m slope, c y-intercept; vertical line আলাদাভাবে \(x=h\)।
- Quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\)-এর roots factorization, completing square বা formula দিয়ে বের করা যায়।
- \(D=b^2-4ac\) roots-এর প্রকৃতি বলে; Vieta coefficients-এর সঙ্গে roots-এর সম্পর্ক দেয়।
- Quadratic function-এর graph parabola; standard, factored ও vertex form একই graph-এর ভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি।
- দুই চলকের second-degree equations থেকে circle, ellipse, parabola ও hyperbola আসে।
- প্রতিটি conic-এর equation শুধু একটি formula নয়; এটি distance, symmetry, focus, directrix ও geometric locus-এর সংক্ষিপ্ত ভাষা।
সরলরেখায় পরিবর্তনের হার স্থির ছিল। Quadratic-এ সেই হার বদলাতে শুরু করল, তাই রেখা বাঁকাল। আর যখন x ও y—দুই দিকেই second-degree সম্পর্ক তৈরি হলো, সেই বাঁকগুলো একটি পূর্ণ পরিবারে পরিণত হলো। এই ধারাবাহিকতা বুঝলে আলাদা আলাদা সূত্র আর বিচ্ছিন্ন মনে হয় না; সবই একই জ্যামিতিক ভাষার বিভিন্ন বাক্য।
- সমীকরণগুলো standard algebra ও coordinate geometry notation অনুসরণ করে লেখা হয়েছে।
- Conic classification \(B^2-4AC\) non-degenerate type চেনার প্রাথমিক নিয়ম; degenerate cases আলাদাভাবে standard form দেখে যাচাই করতে হয়।
- সব worked example substitution, expansion এবং completing-the-square দিয়ে পুনরায় যাচাই করা হয়েছে।